Um modelo solucionável para simetria

Scientific Reports volume 13, Artigo número: 13768 (2023) Citar este artigo

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Modelos analiticamente solucionáveis são referências em estudos de transições de fase e bifurcações formadoras de padrões. Tais modelos são conhecidos para transições de fase de segundo tipo em meios uniformes, mas não para estados localizados (sólitons), pois equações integráveis que produzem sólitons não admitem transições intrínsecas neles. Introduzimos um modelo solucionável para transições de fase de quebra de simetria do primeiro e do segundo tipo (também conhecidas como bifurcações sub e supercríticas) para sólitons fixados em um potencial de poço duplo linear-não linear combinado, representado por um par simétrico de funções delta. São considerados sinais de autofocalização e desfocagem da não linearidade. No primeiro caso, soluções exatas são produzidas para sólitons simétricos e assimétricos. As soluções demonstram explicitamente uma mudança entre as transições de quebra de simetria do primeiro e do segundo tipo (isto é, bifurcações sub e supercríticas, respectivamente). No modelo de autodesfocagem, a solução demonstra a transição do segundo tipo que quebra a antissimetria do primeiro estado excitado.

A dinâmica das excitações coletivas em sistemas físicos é determinada pela interação da difração ou dispersão subjacente, pelas autointerações não lineares dos campos ou funções de onda e pelos potenciais que atuam nos campos. Neste contexto, é comumente conhecido que o estado fundamental (GS) de sistemas lineares reproduz a simetria do potencial subjacente, enquanto estados excitados podem realizar outras representações da mesma simetria1. Em particular, a função de onda de uma partícula presa em um potencial simétrico de poço duplo (DWP) é par, enquanto o primeiro estado excitado é ímpar.

Embora essas propriedades básicas sejam demonstradas pela equação linear de Schrödinger, a dinâmica dos condensados de Bose-Einstein (BECs) é governada, na aproximação do campo médio, pela equação de Gross-Pitaevskii (GPE), que leva em consideração as interações entre partículas, adicionando o termo cúbico da equação de Schrödinger para a função de onda de partícula única . As interações repulsivas ou atrativas são representadas pelo termo cúbico com o sinal de autodesfocagem (SDF) ou autofocagem (SF). Essencialmente, o mesmo modelo é a célebre equação não linear de Schrödinger (NLSE), que governa a propagação de ondas ópticas em meios não lineares4 e encontra muitas outras realizações, como o modelo universal para governar a interação da difração ou dispersão fraca e da não linearidade cúbica do SF5 . Em óptica, uma contrapartida do potencial de aprisionamento é o termo no NLSE que explica a estrutura de guia de onda induzida por um perfil transversal do índice de refração.

A estrutura GS em modelos que combinam a não linearidade DWP e SF segue a simetria do potencial subjacente apenas no regime fracamente não linear. Um efeito genérico que ocorre com o aumento da força de não linearidade do SF é a transição de fase de quebra de simetria, que torna o GS assimétrico em relação a dois poços do DWP6. Este efeito da quebra espontânea de simetria (SSB) implica, entre outras coisas, que o princípio vulgarmente conhecido da mecânica quântica, segundo o qual GS não pode ser degenerado1, já não é válido nos modelos não lineares: obviamente, o SSB dá origem a uma degeneração par de dois GSs mutuamente simétricos, com o máximo da função de onda fixado no poço de potencial esquerdo ou direito do DWP subjacente. O mesmo sistema admite um estado simétrico coexistindo com os assimétricos, mas, acima do ponto SSB, não representa o GS, sendo instável contra perturbações de quebra de simetria.

Em sistemas com o sinal SDF da não linearidade, o GS permanece simétrico e estável, enquanto a transição SSB quebra a antisimetria do primeiro estado excitado (é espacialmente ímpar, com precisamente um zero da função de onda, localizado no centro apontar). O estado resultante com a antissimetria quebrada espontaneamente mantém o ponto zero, que é deslocado do centro para a direita ou para a esquerda.

0\)40,41,42,43, immediately implies that the family of solutions (3) in the case of the SF nonlinearity, \(\sigma =+1\), and \(\varepsilon >0\) is stable in its entire existence region, \(k>\varepsilon ^{2}/2\) (and completely unstable if the linear potential is repulsive, with \(\varepsilon <0\)). For localized states supported by the SDF nonlinearity, with \(\sigma =-1\), the VK stability criterion is replaced by the anti-VK one44, \(dP/dk<0\). Accordingly, in this case the localized states (3) are also stable in their entire existence region, which is \(00\), implies \(H_{0}<0\) for \(\varepsilon >0\), hence the localized solution represents a true bound state with the negative energy./p>0\) (the attractive potential), while both SF and SDF signs of the nonlinearity, \(\sigma =\pm 1\), will be addressed. For \(\sigma =+1\), the solution explicitly demonstrates gradual switch from the extreme subcritical bifurcation to the supercritical one via a regular subcritical bifurcation, in which the backward-going (lower) branches of unstable asymmetric states reverse into stable upper branches at turning points. For \(\sigma =-1\) the results are more straightforward, corroborating the stability of the symmetric GS and the occurrence of the supercritical antisymmetry-breaking transition in the first excited state./p>+1/2\), respectively, and a combination of these terms at \(|x|<1/2\). At points \(x=\pm 1/2\), the solutions are matched by the continuity condition for U(x) and the jump condition for the derivative dU/dx,/p>1\) and \(E(\varepsilon ,k)<1\), respectively. As it follows from Eq. (17), this condition implies that, in the case of SF nonlinearity, the symmetric state with given propagation constant k exists if the strength of the linear \(\delta\)-function potential does not exceed a maximum value,/p>\left( \varepsilon _{\max }\right) _{{\textrm{symm}}}\). The existence boundary (18) is shown by the red curve in Fig. 2a./p>0\)./p>2\). For a given propagation constant, the asymmetric solution exists if \(\varepsilon\) does not exceed a respective maximum value,/p>\) \(P_{{\textrm{asy}}}(k\rightarrow \infty)\equiv 1\), and it becomes the second-order transition for \(P_{{\textrm{bif}} }<1\). The corresponding equation, \(P_{{\textrm{bif}}}=1\), combined with Eq. (24), in which \(\varepsilon <\left( \varepsilon _{\max }\right) _{ {\textrm{asy}}}\) is replaced, as said above, by \(\varepsilon =\left( \varepsilon _{\max }\right) _{{\textrm{asy}}}\), amounts to/p>0\), are stable. Actually, the instability intervals for the asymmetric solitons are very narrow./p>\left( \varepsilon _{\max }\right) _{{\textrm{symm}}}\) [see Eq. (18)], is always stable, realizing the model’s GS. Accordingly, it is not subject to SSB. More interesting is the first excited state above the GS, i.e., the antisymmetric one, given by Eqs. (11)–(13) (with \(\sigma =-1\))/p>1\), in the area of the \(\left( \mu ,\varepsilon \right)\) plane above the brown boundary shown in Fig. 2b. Because Eq. (35) yields \(\varepsilon \ge 1\) in the limit of \(k\rightarrow 0\), there are no antisymmetric states at \(\varepsilon <1\). The integral power of the antisymmetric state is/p>1\) and \(\varepsilon >3/2\), respectively, in accordance with what is said above for the generic solutions of the same types./p>2\)./p>